On le nomme Ajax le Grand pour faire la différence entre l'autre Ajax fils de Oïlée.
Lors d'un combat, il voulut écraser Hector sous un rocher mais la nuit étant venues ils cessèrent le combat et se réconcilièrent en échangeant des présents. Ajax donna sa ceinture pourpre et Hector son épée.
Lorsque Achille mourut, Ajax et Ulysse désiraient s'approprier ses armes. Elles ne pouvaient appartenir qu'à un homme aussi brave que Achille et il y en avait deux, Ajax et Ulysse. Pour rendre un jugement on se reféra à l'ennemi qui remit à Ulysse l'héritage d'Achille.
Ajax devenu fou par vengeance d'Athéna, égorgea tout un troupeau de moutons, croyant qu'il tuait des Grecs. Réalisant après coup ce qu'il venait de faire, il se suicida.
Les Grecs refusaient de lui donner une sépulture, mais Ulysse réussit à les convaincre. Les armes d'Achille tombèrent à la mer qui les rejeta près de son tombeau.
Ainsi un hommage fut rendu à Ajax le grand, ce Héros de la guerre de troie!